照相机调焦背后的数学秘密

本文作者：刘瑞祥，【遇见数学】感谢刘老师的投稿支持！

数学对普通人来说，除了买菜还有什么用？这是个好问题。我打算找找实际的例子给说一下，但是不能保证都说得好，今天这篇文章算个尝试吧。

现代的照相机往往可以自动调焦，但是如果你想拍出艺术感强一点的照片，总会用到手动调焦。下面的图就是某照相机调焦环的样子。手动调焦就是转动这个环，使照相机成像清晰的过程。

等等，上图中焦距那个 ∞ 无穷。那为什么会趋于无穷？即使我们拍几百光年以外的星星，距离也不会是无穷吧？

要讲清这个道理，就需要了解成像和调焦的原理了。我们从高中知道，照相机可以看作是凸透镜成像的具体应用，这里首先用到的数学是利用相似三角形的知识求出凸透镜成像公式：

其中 u 是物距，v 是像距，f 是焦距，这些具体概念就交给物理老师为你们讲解了。

如果你进一步学习就知道，这仅是个近似公式，更详细的计算需要根据折射公式（会用到三角函数）来算：第一步先要算光线在镜面的入射面如何进来，第二步是算光线在出射面如何射出，最后算这些出射光线能不能汇集到一起，如果能的话是汇集到哪里，不能汇集的话原因是什么，误差有多大……

你已经晕了？还没完呢，为了更好地成像，现代照相机不会只有一个镜片的。更要命的是，照相机生产厂家需要把计算过程反过来，也就是根据设计需要来选择镜片两个面的曲率、镜头的材料（折射率）等等。现在你知道为什么专业镜头那么贵了么？

下面我们还是看看为什么调焦环上会出现无穷吧，为了简洁，我们还是用前面那个近似公式比较好。

所谓“调焦”，其实对很多镜头来说主要改变的是胶片或者别的成像材料到镜头的的距离。也就是说，焦距其实是定死的，物距也不进行改变了，这样像距当然也就不变了，然后我们转动调焦环，就可以把胶片移动到成像位置处。根据前面的公式可以得出：

我们知道，一般情况下镜头焦距是很小的，往往才几十毫米，而物距起码一米以上，也就是说物距远远大于焦距，拍摄远方的物体更是这样。这时根据上面的公式可以看出来像距 v 是很接近焦距 f 的，而且几乎不变。也就是说，当我们拍摄远方物体时完全可以认为物距是无穷大的。

有人会说，那物距到底还不是真的无穷大，还是不能在胶片上清晰成像啊。这里要用到另外一个概念，就是“景深”。拍照时除了正好在胶片上成像的物体外（满足前面的公式），往往在被拍摄物体前后还有一段距离会成像比较清楚，这个前后范围就是景深。

▲ 不同景深的变化可产生各种特殊效果(图自维基)

也正是因为景深的存在，才能使我们把几十米的物距当做无穷远来处理。景深当然也是可调的，不过这里不介绍了，只附一张不同景深的对比图以供参考。

解析自动调焦原理及方法

自动调焦的原理及方法

自动调焦技术

已经广泛应用于各种光学仪器中。常见的调焦方法,从基本原理上可分成基于物方测距的主动式和基于像检测法的被动式两大类。主动、被动式自动对焦方式各有千秋,主动式由系统主动发出光波,可以在低反差、弱光线下对焦,但当被摄体能吸收或反射光或波时对焦困难。被动式直接接收来自景物自身的反光,对具有一定亮度的被摄体能理想地自动对焦,自身不要发射系统,耗能少,有利于小型化。被动法中的以数字图像处理作为调焦检测函数的方法,理想的评价函数要求无偏性、单峰性、能反映离焦的极性、对噪声敏感度低等。为提高效率,往往还希望计算量尽可能地小。文章介绍了目前应用于光学系统的几种基于光电测试和图像处理的自动调焦方法。

1 调焦原理

实际光学系统在工作过程中,被摄物体与光学系统的相对距离,每次总是有变化的。由高斯公式1/l′-1/l=1/f′[2]可知,对于不同的物距l,其摄像光学系统的像距l′也将随着变化。为了使不同距离的被摄物体能够正确地成像在焦平面上以得到清晰的影像,必须随时调整镜头与成像平面之间的距离l′来适应物距l的变化。镜头的这种调整过程就称为调焦。为了正确地进行调焦,一般在调焦前还要测定出被摄目标到成像镜头之间的距离,这个过程便称为测距。

无论采用何种调焦方式,都必须使被摄体的物距l和像距l′满足高斯公式,只有这样才能获得清晰的像。通常用下述方法来获得正确的调焦。

2 自动调焦的分类

从基本原理来说,自动调焦可以分成两大类:基于镜头与被摄目标之间距离测量的测距方法和基于调焦屏上成像清晰的聚焦检测方法。

2.1 测距方法

测距方法的自动调焦主要有三角测量法、红外线测距法和超声波测距法。

1)三角测量法 　测距原理如图1所示。左边的反射镜是局部镀膜反射镜,即中间一小块反射右边来的光线,而此反射镜的其余部分透射前方直接进入的光线,这样在调焦平面上的影像如图1左下角所示。右边的反射镜在电路控制下转动,调焦平面上有光电元件进行探测,当透射和反射的两部分影像重合的时候,可动反射镜的摆动角α/2和物点A的距离D之间有如下关系:

α/2=(1/2)arctan(b/D) (b为基线长)。

于是,系统可以计算出被摄目标和镜头之间的距离并驱动镜头运行到合适的位置,完成调焦。

2)红外线测距法 该方法的原理类似于三角测量法,所不同的是由系统主动发射红外线作为测距光源,并用红外发光二极管的转动代替可动反光镜的转动。

3)超声波测距法 　该方法是根据超声波在摄像机和被摄物之间传播的时间进行测距的。光学仪器上分别装有超声波的发射和接收装置,工作时由超声振动发生器发出持续时间约1/1 000 s的超声波,覆盖整个画面的10%。超声波到达被摄体后,立即返回被接收器感知,然后由集成电路根据超声波的往返时间来计算确定调焦距离。

红外线式和超声波式自动对焦是利用主动发射光波或声波进行测距的,称之为主动式自动对焦。

2.2 聚焦检测方法

聚焦检测方法主要有对比度法、裂像法和相位法。

1)对比度法:

该方法通过检测影像的轮廓边缘实现自动调焦。像的轮廓边缘越清晰,则它的亮度梯度就越大,或者说边缘处景物和背景之间的对比度就越大。反之,离焦的像,轮廓边缘模糊不清,亮度梯度或对比度下降;离焦越远,对比度越低。利用这个原理,将两个光电检测器放在底片位置的前后相等距离处,被摄景物的像经过分光同时成在这两个检测器上,分别输出其成像的对比度。当两个检测器所输出的对比度相等时,说明调焦的像面刚好在两个检测器中间,即和底片的位置重合,于是调焦完成。

2)裂像法:

在对焦板位置(与成像平面等同位置)放置裂像光楔或微棱镜,当焦点正好位于裂像光楔的交点上或微棱镜的顶点上的时候,看到的只是一个清晰的像点;当焦点偏离上述位置时,通过裂像光楔看到的是两个分开的像,而通过微棱镜看到的则是许许多多分开的像,造成一种影像模糊的感觉。用裂像光楔和微棱镜对焦板对焦就是根据这个原理进行的。因为对焦屏位置与成像平面完全共轭,人们只需通过眼睛观察相当于成像平面的对焦屏的成像情况,就可知道对焦是否准确:即只要对焦屏上的裂像重合和微棱区影像是清晰的,则成像平面上的像必然清晰;反之则成像模糊。对焦屏可以做成不同的结构形式,如毛玻璃表面状、微圆锥面状、微棱镜状、带裂像光楔、带环带透镜的,等等。聚焦检测的调焦方法主要应用于单镜头反光照相机上。

3)相位法:

该方法是通过检测像的偏移量实现自动调焦的。如图2所示,在感光底片的位置放置一个由平行线条组成的网格板,线条相继为透光和不透光。网格板后适当位置上与光轴对称地放置两个受光元件。网格板在与光轴垂直方向上往复振动。从图2可以看出,当聚焦面与网格板重合时,通过网格板透光线条的光同时到达其后面的两个受光元件。而当离焦时,光束只能先后到达两个受光元件,于是它们的输出信号之间有相位差。有相位差的两个信号经电路处理后即可控制执行机构来调节物镜的位置,使聚焦面与网格板的平面重合。

2.3 透镜分离相位检测原理

透镜分离检测装置由一组分离镜片和一组或多组由感光元件组成的测距组件或称AF传感器构成。下面以CCD感光元件的测距组件来说明相位检测法的工作原理。分离镜片的作用是将通过摄影镜头的光线分裂成两束并调焦,分别投影到测距组件上。当调焦准确时,经过分离镜片生成的两束光线投影在CCD阵列上的距离是一定的,从而CCD记住这是一个阵列上被光束照射所产生的电荷的那一对CCD元件的位置也是固定不变的。这对CCD元件之间的距离在光学系统设计时已经整定好了,作为焦点检测的基准。

调焦准确时见图3a,用AB来表示作为基准的一对CCD元件之间的距离。当调焦不准时,有两种可能性:一种是镜头焦点在被摄体之前,见图3a,此时受光的两只CCD元件之间的距离短于AB;另一种情况是镜头焦点在被摄体之后,见图3c,此时受光的两只CCD元件之间的距离长于AB,根据受光的一对CCD元件之间的距离,就能鉴别出焦点是否准确。两只CCD元件所产生的电信号经过转换电路和模拟/数字转换电路,再送入系统的CPU中央处理单元,CPU按照设定的程序及根据这对CCD元件的距离与AB的差值,可计算出散焦量[6]即实际焦点与准确焦点之差以及散焦方向。

3 基于图像处理的自动调焦

随着计算机硬件和数字图像技术的飞速发展,图像的实时处理已成为可能。计算机通过镜头和CCD采集到一系列的数字图像,对每一帧图像进行实时处理,判断对焦是否准确,成像是否清晰,并给出反馈信号控制镜头的运行,直到采集到的图像符合使用要求,即完成自动调焦。

基于图像处理的自动调焦具有以下两大优点:一,调焦更加智能化,聚焦判据更加灵活和多样。基于模拟图像的聚焦检测方法只利用被测物和背景之间的对比度(轮廓边缘的梯度)作为判断是否成像清晰的判据。而通过数字图像处理,不仅可以利用梯度信息,还可以提取图像中各种其它的有效信息进行判断,例如频率、相位等。对于具高频信息的图像,一般而言,对焦越准确,图像信号的频率越高,边缘越尖锐;离焦时则频率降低,边缘相对平滑。此外,由于计算机处理图像的灵活性,可以针对不同的使用要求,选择不同的判据进行调焦。例如,有时候所需的目标只是图像中的某一个局部,而不是整幅图像的清晰程度。

这时应该针对图像中这一局部进行处理和提取判据,用该局部的对比度(边缘梯度)作为调焦的依据。

总结

各种自动对焦方式各有其局限性。例如红外测距和超声测距的对焦方法,当被测目标对红外光或超声波有较强的吸收作用时,将使测距系统失灵或对焦不准确。对比度法受光照条件的制约,当环境照度较低时,或被摄主体反差较小即景物明暗对比较弱时,测距精度明显降低,甚至失灵。对光学系统来说,当光圈数为小时,光孔大,光通量也大;随着光圈数的加大,光孔变小,光通量也随之减少。由于光电元件允许照度范围有限,所以其对焦情况受光圈数的限制,以单反相机为例[11],一般情况下光圈数大于F8时自动对焦困难,自动调焦系统所能达到的精度根据系统所选器件参数以及制造技术的不同而有所不同,当自动对焦允许照度范围为EV-1~EV+3时,基本上能达到的精度为±0.03~±0.1 mm。

基于图像处理的聚焦检测方法由于图像处理需要占用大量的计算机资源,这种自动调焦方法对计算机硬件提出了较高的要求。此外,由于此方法利用被测物和背景之间的对比度(轮廓边缘的梯度)作为判断是否成像清晰的判据,与前面所介绍的对比度法一样,也受到光照条件的限制。基于数字图像处理的算法针对不同性质的图像有着不同的表现,综合不同文献中的结论,下列方法得到了普遍的肯定:平方梯度、TenenGrad(梯度)、Laplace和Sobel方差、基于自相关的函数、傅里叶变换、小波变换等。

来源：CHUNTAI俊泰行

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